Почему минус на минус дает плюс?

2) Почему минус один умножить на плюс один равно минус один?

«Враг моего врага — мой друг».

Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, . Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.

Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2 . Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3 . При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x , (–15) = (–5)x . Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5) . Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3 .

Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции. Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

• сложение элементов кольца подчиняется переместительному ( A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному ( A + (B + C) = (A + B) + C ) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A , и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A) ), что A + (–A) = 0 ;


• умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C ;


• сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C .

Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B) , а во-вторых (–(–A)) = A . Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C . Рассмотрим сумму A + B + C . Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C , а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C . Значит, B = C .

Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A) , поэтому они должны быть равны.

Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B , то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B) .

Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B . То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

Ответил: Евгений Епифанов

Минус (отрицательная скорость) на плюс (положительное время) дал минус (отрицательное расстояние, машина у меня за спиной).

Минус (отрицательная скорость) на минус (отрицательное время) = плюс (положительное расстояние, машина была в 10 метрах у меня перед носом).

Если сегодня пятница 13 - это плохой день. Если я получил двойку - это тоже плохо. Но если я получил двойку именно в пятницу 13 - это нормально, так как в плохой день все должны получать плохие оценки (минус на минус). Если же я получил бы хорошую оценку в пятницу 13, то это было бы странно и неправильно (минус на плюс).

Лично я для себя этот факт никогда не объяснял, мне он всегда казался понятным и очевидным (хотя может я и не помню уже чего).

2*5*(-1)=-10, ответ переписываем из предыдущего вычисления, а не полученного в этом, Значит можно сказать, что при умножении числа на (-1), есть перевёртывание числовой двух полярной оси, т.е. смена полярности на противоположную. То что мы отложили в положительную часть стало отрицательным и наоборот. Теперь (-2)*(-5), запишем как (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), отложив число (-10), и поменяв полярность оси, т.к. умножаем на (-1), получим +10, не знаю только получилось ли проще?

Минус означает отобрать. Если у вас отобрали 5 яблок 1 раз, то в итоге у вас отобрали 5 яблок, что условно обозначается минусом, т.е. – (+5). Ведь надо же как то обозначить действие. Если 5 раз отобрали по 1 яблоку, то в итоге так же отобрали: – (+5). При этом отобранные яблоки не стали мнимыми, т.к. закон сохранения материи никто не отменял. Положительные яблоки просто перешли к тому, кто их отобрал. Значит мнимых чисел нет, есть относительное движение материи со знаком + или -. Но раз так, то запись: (-5) * (+1) = -5 или (+5) * (-1) = -5 не точно отражает действительность, а обозначает её только условно. Поскольку мнимых чисел нет, то всё произведение всегда положительное → «+» (5*1). Далее происходит отрицание положительного произведения, что означает отъём → «- +» (5*1). Здесь минус не компенсирует плюс, а отрицает его и становится на его место. Тогда в итоге получаем: -(5*1) = -(+5).

Для двух минусов можно записать: «- -» (5*1) = 5. Знак «- -» означает «+», т.е. экспроприацию экспроприаторов. Сначала яблоки отобрали у вас, а затем вы их отобрали у вашего обидчика. В результате все яблоки остались положительными, только отбор не состоялся, т.к. произошла социальная революция.

Вообще говоря, то что отрицание отрицания ликвидирует отрицание и всё к чему отрицание относится детям понятно и без объяснений, т.к. это очевидно. Объяснить детям нужно только то, что взрослые искусственно запутали, да так, что и сами теперь не могут разобраться. А путаница состоит в том, что вместо отрицания действия ввели отрицательные числа, т.е. отрицательную материю. Вот дети и недоумевают, почему при сложении отрицательной материи сумма получается отрицательной, что вполне логично: (-5) + (-3) = -8, а при умножении такой же отрицательной материи: (-5) * (-3) = 15, она вдруг в итоге становится положительной, что не логично! Ведь с отрицательной материей должно происходить всё тоже самое, что и с положительной, только с другим знаком. Поэтому детям кажется логичнее, что при умножении отрицательной материи должно происходить приумножение именно отрицательной материи.

Но и здесь не всё гладко, ведь для приумножения отрицательной материи достаточно чтобы только одно число было с минусом. При этом один из сомножителей, который обозначает не вещественное наполнение, а разы повторения отобранной материи всегда положительный, т.к. разы не могут быть отрицательными даже если повторяется отрицательная (отобранная) материя. Поэтому при умножении (делении) знаки правильнее ставить перед всем произведением (делением), что мы и показали выше: «- +» (5*1) или «- -» (5*1).

А для того, чтобы знак минус воспринимался не как признак мнимого числа, т.е. отрицательной материи, а как действие, взрослым нужно договориться сначала между собой, что если знак минус стоит пред числом, то он обозначает отрицательное действие с числом, которое всегда положительное, а не мнимое. Если же знак минус стоит перед другим знаком, то он обозначает отрицательное действие с первым знаком, т.е. меняет его на противоположный. Тогда всё станет на свои места естественным образом. Затем надо объяснить это детям и они прекрасно поймут и усвоят такое понятное правило взрослых. Ведь сейчас все взрослые участники обсуждения фактически пытаются объяснить необъяснимое, т.к. физического объяснения этому вопросу нет, это просто условность, правило. А объяснять абстракцию абстракцией же - это тавтология.

Если знак минус отрицает число, то это физическое действие, но если он отрицает само действие, то это просто условное правило. То есть взрослые просто договорились, что если отбор отрицается, как в рассматриваемом вопросе, то отбора нет, неважно сколько раз! При этом всё, что у вас было остаётся с вами, будь то просто число, будь то произведение чисел, т.е. много попыток отбора. Вот и всё.

Если кто-то не согласен, то подумайте спокойно ещё раз. Ведь и пример с машинами, в котором есть отрицательная скорость и отрицательное время за секунду до встречи это всего лишь условное правило связанное с системой отсчёта. В другой системе отсчёта та же скорость и то же время станут положительными. А пример с зазеркальем связан со сказочным правилом, в котором минус отражаясь в зеркале только условно, но вовсе не физически становится плюсом.

В младших классах читала чудесную книжку - ту что про Карликанию и Аль-Джебру, а может и в математическом кружке приводили пример - ставили по разные стороны знака равно двух человек с яблоками разных цветов и предлагали давать друг другу яблоки. Потом между участниками игры ставили и другие знаки - плюс, минус, больше, меньше.

Может прозвучит жестоко, но автор сам не понимает почему минус на минус даёт плюс :-)

Всё в мире можно объяснить наглядно, ведь абстракции нужны лишь для объяснения мира. Они привязаны к реальности, а не живут сами по себе в бредоватых учебниках.

Хотя для объяснения нужно как минимум знать физику а иногда и биологию в купе с основами нейрофизиологи человека.

Но вторая традиционно съехала в шизофрению. А и В - это должны быть реальные объекты! так зачем же их называть этими буквами, когда можно взять например буханки хлеба или яблоки

Если.. если было бы можно. да?))))))

и даже если считать что это минус два, взятое минус два раза, то получится

И это было бы ПРАВДОЙ, а не окольцованной чушью.

А вот для отрицательных чисел умножение уже не равнозначно сложению.

без танце в с бубном и волюнтаристским решением какие минусы учитывать и в каких действиях.

Собственно да - истинно отрицательного в мире вобще нет, и поэтому любые правила годны для действий с придуманными объектами не имеющими физического аналога.

Главное помнить что на самом деле их нет и не было.

И наверно это - самое важное что стоит донести детям.

На самом деле (-2)+(-2) = (-4) – это 2 раза по (-2), т.е. (-2) * 2 = (-4).

Что же касается умножения двух отрицательных чисел, без противоречий, это то же сложение, только с другой стороны от «0» на числовой прямой. А именно:

(-2) * (-2) = 0 –(-2) –(-2) = 2 + 2 = 4. Так что всё сходится.

Ну, а относительно реальности отрицательных чисел, как вам такой пример?

Если у меня в кармане, допустим, 1000$, настроение моё можно назвать «положительным».

Если 0$, соответственно состояние будет «никаким».

А если (-1000)$ – долг, который надо возвращать, а денег нет.

Отчего так бывает - сказать не берусь.

А что если взять не 2 знака а три, например +, - и *. Равноправные и симметричные.

(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) не складывются(!), как действительная и мнимая части комплексного числа.

Не просто, но привыкнуть можно.

Казалось бы все хорошо, но умножение не ассоциативно, т.е.

а(bс) не равно (аb)с.

Опять несправедливо, + выделен как особый. НО родилась НОВАЯ АЛГЕБРА с тремя знаками. Коммутативная, ассоциативная и дистрибутивная. У нее есть геометрическая интерпретация. Она изоморфна Комплексным числам. Ее можно расширять дальше: четыре знака, пять.

Такого еще не было. Берите, люди, пользуйтесь.

Есть наш мир, где всё "плюс": яблоки, игрушки, кошки и собаки, они настоящие. Яблоко можно съесть, кошку можно погладить. А ещё есть придуманный мир, зазеркалье. Там тоже есть яблоки и игрушки, зазеркальные, мы можем их представить, но потрогать не можем - они придуманные. Попасть из одного мира в другой мы можем с помощью знака "минус". Если у нас есть два настоящих яблока (2 яблока), и мы поставим знак минус (-2 яблока) - получим два придуманных яблока в зазеркалье. Знак минус переносит нас из одного мира в другой, туда-обратно. Зазеркальных яблок в нашем мире нет. Мы можем их представить целую кучу, даже миллион (минус миллион яблок). Вот только съесть их не получится, потому что минус яблок у нас нет, все яблоки в наших магазинах - это плюс яблоки.

Умножить - значит расставить какие-нибудь предметы в виде прямоугольника. Возьмём две точки ":" и умножим их на три, получим: ": : :" - всего шесть точек. Можно взять настоящее яблоко (+Я) и умножить его на три, получим: "+ЯЯЯ" - три настоящих яблока.

А теперь умножим яблоко на минус три. Мы снова получим три яблока "+ЯЯЯ", но знак минус перенесёт нас в зазеркалье, и у нас окажется три зазеркальных яблока (минус три яблока -ЯЯЯ).

А теперь умножим минус яблоко (-Я) на минус три. То есть берём яблоко, а коли перед ним минус - переносим в зазеркалье. Там мы умножаем его на три. Теперь у нас три зазеркальных яблока! Но остался ещё один минус. Он переместит полученные яблоки назад, в наш мир. В итоге получим три настоящих вкусных яблока +ЯЯЯ, которые можно слопать.

Получается что график функции расположен будет в 1 и 3 четвертях всегда, кроме тех случаев когда n - чётное. При этом меняется лишь кривизна графика. Но чётность n - величина относительная, ведь мы можем принять другую систему отсчёта, в которой n = 1,1*k, далее мы получаем

и чётность здесь будет уже другая.

"Степенна́я фу́нкция — функция y=x^, где a (показатель степени) — некоторое вещественное число. К степенным часто относят и функцию вида y=kx^, где k — некоторый (ненулевой) коэффициент. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом."

Разобравшись с -(-1), легко разобраться и со всем остальным. Понаблюдаем за поведением операции вычитания при изменении вычитаемого.

выражение в скобках (вычитаемое) уменьшается, а результат увеличивается. Все понятно. Именно так себя ведет операция вычитания. Продолжаем уменьшать вычитаемое и соответственно увеличивать результат, чтобы не нарушать поведения операции вычитания.

Из пустой корзины достали 2 яблока. и получили нечто.

Из пустой корзины МОЖНО ДОСТАВАТЬ нечто, чтобы получить яблоки. чтобы не нарушалось первое утверждение.

как более общей формы представления чисел

Тригонометрическая форма комплексного числа

Знак в этом случае это просто аргумент (угол поворота)

При умножении углы складываются

0 градусов соответствует +

180 градусов соответствует -

Умножение - на - эквивалентно 180+180=360=0

в случае чётного количества

Мяч на месте- плюс

«Алгебраическое» объяснение не смогло поколебать ни моей горячей любви к отцу, ни глубокого уважения к его науке. Но я навсегда возненавидел аксиоматический метод с его немотивированными определениями.